Die mathematische Theorie sagt uns nun, dass die gesamte Lösungsmenge der obigen Gleichung, das heisst, alle Lösungstripel zusammen genommen, eine Fläche im dreidimensionalen Raum bildet. A priori ist es sehr schwer, die geometrische Form dieser Fläche aus der Gleichung zu erkennen. Allerdings gibt es Visualisierungsprogramme wie etwa POV-Ray, die dies schon sehr gut bewerkstelligen und uns einen Eindruck von der Gestalt vermitteln können. Im gegenständlichen Fall ist die Lösungsmenge der Gleichung die Oberfläche des Sterns. Das ist kein Zufall, die Gleichung wurde genauso gewählt.

Wir beobachten als erstes die Symmetrie der Figur: jeweils fünf Spitzen bilden ein regelmässiges Fünfeck, und es gibt 12 solcher Fünfecke, die jeweils mit den gleichen Winkeln aneinanderstossen. Dies ist die Symmetrie des Dodekaeders, einer der fünf platonischen Körper.

Weiters stellen wir fest, dass die Fläche glatt ist mit Ausnahme der 20 Spitzen. Diese Punkte heissen Singularitäten; sie sind besonders aufschlussreich für das Studium der lokalen Geometrie.

Das menschliche Gehirn kann mit wenig Aufwand die Gestalt der Skulptur abspeichern und memorieren. Hingegen ist es fast unmöglich, sich die Gleichung zu merken. Diese hat aber den Vorteil, dass sie sich algebraischen Methoden unterziehen lässt. Damit wird beispielsweise die Visualisierung produziert, oder das genauere Studium der Geometrie durchgeführt. Die Dialektik Geometrie–Algebra ist ein Grundpfeiler der Mathematik: sie manifestiert sich am Beispiel des Sterns, wobei es nicht einfach ist, aus der Kennntis der Form die richtige Gleichung (sie ist im Wesentlichen eindeutig) zu finden: Dies wurde von Alexandra Fritz in ihrer Masterarbeit mit Hilfe von Invarianten- und Singularitätentheorie erfolgreich bewerkstelligt. Eine gewisse Flexibilität ergibt sich aus der Wahl eines freien Parameters $c$, der bei der Skulptur mit dem Wert $c = 81$ belegt wurde. Er bestimmt, wie spitz der Stern ist. Der Wert $c = 0$ liefert die Kugeloberfläche, und bei wachsendem $c$ wachsen die Spitzen zusehends aus der Kugel heraus. Wird $c$ kleiner, also negativ, so bläst sich die Kugel auf und bildet dabei nach innen zeigende Spitzen.

Der Dodekaederstern ist nur ein Beispiel einer algebraischen Fläche mit Singularitäten und Symmetrien. Ihr Studium ist bei weitem noch nicht abgeschlossen und Gegenstand intensiver Forschungsarbeiten. An der Fakultät für Mathematik der Universität Wien wird es durch mehrere Forschungsprojekte des FWF (Fonds Wissenschaftlicher Förderung) besonders unterstützt.

Der Name "Dodekaederstern" wird gelegentlich für eine andere Figur verwendet, nämlich einen der Kepler'schen Sternkörper. Die englische Bezeichnung "stellated dodecahedron" präzisiert die Konstruktion: Man setzt auf jede (fünfeckige) Seitenfläche des Dodekaeders eine Pyramide aus gleichseitigen Dreiecken. Ein Mosaik dieses Sterns findet sich im Eingangsbereichs des Markusdoms in Venedig. Es wird Paolo Ucello (Florenz 1397 - 1475) zugeordnet.

Das Logo des Computeralgebra Programms "Mathematica" ähnelt in seiner Form dem Dodekaederstern, unterscheidet sich aber insoweit, als dass die Spitzen durch Grate verbunden sind, während beim Stern die Oberfläche ausserhalb der Spitzen überall glatt ist. Die Symmetrien stimmen also überein, nicht hingegen die lokale Geometrie. Zudem wird der Stern durch eine einzige Gleichung beschrieben.

Mathematische Grundlagen: A. Fritz & H. Hauser, Fakultät für Mathematik, Universität Wien, im Rahmen des FWF-Projektes P-21461.

Visualisierung: POV-Ray 3.6.

Produktion 3-D Daten: Institut Forwiss, Universität Passau, E. Fuchs, M. Kuhnkies, A. Zimmermann.

Datenadaptierung Nurbs: Fa. Evolute, A. Schiftner.

Als nächstes wird die lokale Geometrie in den Spitzen des Sterns vorgeschrieben. Es genügt, sie in einer Spitze festzulegen, durch die Operation der Gruppe setzt sie sich in alle anderen Spitzen fort. Die einfachste Singularität der gewünschten Gestalt ist durch die Gleichung $x^2 + y^2 = z^3$ gegeben, die sogenannte $A_2$ - Singularität. Die Taylorentwicklung von $P(u, v)$ als Polynom in $x$, $y$, $z$ in einem einer Spitze entsprechenden Punkt wird nun lokal und bis auf Diffeomorphie mit dieser Gleichung verglichen. Die Vorgabe der lokalen Geometrie impliziert via der Deformationstheorie von Singularitäten algebraische Bedingungen an die Koeffizienten von $P(u, v)$.

Das resultierende Gleichungssystem für die noch unbekannten Koeffizienten hat für kleinen Grad von $P$ im Allgemeinen keine Lösung. Für den Dodekaederstern ist $d = 3$ der erste Grad, bei dem reelle Lösungen auftreten. Diese sind nicht eindeutig, sondern bilden eine eindimensionale Schar, parametrisiert durch einen reellen Wert $c$. Man erhält für den Stern die Gleichung

$f = 5c(2\varphi − 3)v - (1 − u)^3 + \frac{5}{27} cu^3 = 0$

Der (uninteressante) Wert $c = 0$ liefert die $2$-Sphäre. Sei also $c \neq 0$. Es ist nun nachzurechnen, dass außer in den Spitzen keine weiteren (reellen) singulären Punkte vorliegen können. Damit ist die Gleichung gefunden. Die exakte Form des Sterns für jedes c bestimmt man am besten durch ein Visualisierungsprogramm. Man stellt fest, dass der Wert c die Krümmung des Sterns zwischen den Spitzen beeinflusst. Für die Skulptur wurde $c = 81$ gewählt.

Die detaillierte Beschreibung der zugrunde liegenden mathematischen Überlegungen finden sich in der Arbeit von A. Fritz und H. Hauser.